quinta-feira, 25 de março de 2010

Funçoes

Funções: aplicações
FUNÇÃO CUSTO TOTAL, FUNÇÃO RECEITA TOTAL E FUNÇÃOLUCRO TOTAL
Custo total
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles
chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não
dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da
quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf).À parcela de custos que depende de x
chamamos custo variável (e indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever:
Ct(x) = Cf + Cv(x)
Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo total dividido pela
quantidade, isto é:
x
C (x)
C (x) t
m =
Receita total
Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a
função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes,
o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(x). Assim, a receita total pode ser expressa
através da função demanda como:
R(x) = p.x = f(x)x.
Lucro total
Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo
total, isto é:
L(x) = R(x) − Ct(x)
Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de
nivelamento. Então, o ponto de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo é denominado ponto de
nivelamento.
Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico
é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as
raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 20 grau, será suficiente
determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o
ponto de máximo (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice será o lucro máximo.
Receita Total
Custo Total
a - pontos de nivelamento - b
x x
y
y
a b
Lucro Máximo
2
Exemplos e Exercícios:
1)
Tendo em vista o gráfico acima, responda as questões abaixo:
a) Qual a equação da função Vendas ?
b) Qual o intervalo onde observamos o ponto de equilíbrio ?
c) O que significa o fato da função Custo total não iniciar do ponto (0,0)?
d) Supondo que o Custo Fixo seja R$ 75.000,00 e que um ponto do gráfico da função Custo Total seja
(30.000, 225.000), qual será a equação da função Custo Total ?
2) Considerar as funções custo total C(x) = 2x + 39 e a função receita R(x) = - x2 + 18 x relativas à produção e
venda de x unidades de um mesmo produto, 0 ≤ x ≤ 18 , representadas no gráfico abaixo.
Determina a função Lucro e observando o gráfico responda:
a) Quais os pontos de nivelamento.
b) Qual o intervalo onde o temos Lucro (L(x)>0).
c) Qual o intervalo onde temos Prejuízo (L(x)<0).
3) O custo fixo de uma empresa é 500u.m. sendo o custo variável 20 .
2
C (x) 1 x2 x v = − A função demanda é
dada pela expressão x 40
2
p = − 1 + . Determina:
a) as funções: receita, custo total e lucro total
b) o intervalo onde o lucro total é positivo
c) o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro.
4) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de 600u.m. e, em
material, gasta 25u.m. por unidade produzida. Cada unidade será vendida por 175u.m.. Determina:
a) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter o nivelamento
b) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de 450u.m.
39
3 13 x
C(x) / R(x)
R (x)
C
45
65
0 18
3
5) Supondo que o custo total para fabricar “x” unidades de um certo produto seja dado por: Ct (x) = x2 + 8,
determina:
a) o custo fixo; b) o custo variável;
c) o custo de fabricação de quatro unidades; d) o custo de fabricação da quarta unidade;
e) a função do custo médio; f)o custo médio de produção das quatro primeiras unidades.
6) O custo total para um fabricante consiste de uma quantia fixa 200 μ m somado ao custo de produção que é de
50 μ m por unidade. Expressa o custo total como função do número de unidades produzidas e constrói o gráfico.
7) Se o preço de venda de certo produto é 70 μ m e “x” representa a quantidade vendida, determina:
a) a função receita total;
b) o gráfico da função receita total.
8) Considera a função custo total do exercício (6) e a função receita total do exercício (7). Determina:
a) a função lucro total;
b) o ponto crítico (de nivelamento);
c) os valores de “x” para os quais o lucro é negativo;
d) os valores de “x” para os quais o lucro é positivo;
e) os gráficos das funções custo, receita e lucro no mesmo sistema de eixos.
9) Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro total em cada caso:
a) Rt (x) = 4x e Ct (x) = 50 + 2x
b) Rt (x) = 0,5x e Ct (x) = 20 + 0,25x
10) Uma editora vende certo livro por 60 μ m a unidade. Seu custo fixo é 10.000 μ m e o custo variável por
unidade é 40 μ m.
a) Qual o ponto de nivelamento?
b) Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a 8.000μm?
c) Esboça os gráficos da receita, custo e lucro no mesmo sistema de eixos.
11) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e demanda diária são:
p = 20 + 5x e p = 110 – 4x, respectivamente. Determina:
a) o preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50;
b) a quantidade vendida quando o preço é 10 μ m;
c) o ponto de equilíbrio do mercado;
d) os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos;
e) interpreta o resultado obtido em (c).

Derivada

Derivada


Na matematica, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da DERIVADA é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da DERIVADA de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:

Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A DERIVADA de uma função num ponto indica a taxa de variação da função em relação ao argumento da própria função. A DERIVADA fornece a inclinação instantânea de f(x) em cada ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A DERIVADA de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.


Diferenciação e Diferenciabilidade

A DERIVADA de uma função pode ser escrita de várias formas. Por exemplo:

\frac{}{}   f^{'}(x) (lê-se éfe linha de xis)

ou

\frac{df}{dx}(x) (lê-se dê éfe dê xis de xis)

ou

\frac{d}{dx}   f(x) (lê-se dê dê xis de éfe de xis)

ou

\frac{}{}   D_{x}   f(x) (lê-se Dê xis de éfe de xis).

Os últimos três símbolos são úteis para se considerar a diferenciação como um operador, e estes símbolos são conhecidos como Operador diferencial.

Uma função é diferenciável em um ponto x se sua DERIVADA existe e é finita naquele ponto; uma função é diferenciável em um intervalo se a DERIVADA existe e é finita para cada x dentro do intervalo. Se uma função não é contínua em c, então não existe uma inclinação definida em c e, portanto, a função não é diferenciável em c; Mesmo para uma função contínua em c, pode ocorrer dela não ser diferenciável em c. Por exemplo, considere o ponto c como o ponto no vértice de um triângulo. Neste ponto existem duas inclinações possíveis, à direita ou à esquerda. Portando a DERIVADA é ambígua e não pode existir. Em suma, se uma função é diferenciável num ponto, ela é contínua nesse ponto; reciprocamente não se pode afirmar o mesmo.


Quociente de Newton



A DERIVADA de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com f(x) convergem para um mesmo ponto. Neste limite, a inclinação da secante se iguala à da tangente.

DERIVADA de f(x)">

Inclinação da tangente à curva como a DERIVADA de f(x)

Essa idéia é expressa no quociente de Newton; onde h, isto é ?x, é a distância entre os pontos de intersecção da secante no eixo de coordenada x:

f'(x)=   \lim_{h   \to   0}   \frac{f(x+h)   -   f(x)}{h}

Suponha que se queira encontrar a DERIVADA de uma função f(x), em x. Se aumentamos x em uma quantidade pequena, ?x, pode-se calcular f(x + ?x). Uma aproximação da inclinação da tangente à curva é dada por (f(x + ?x) - f(x)) / ?x, que é uma forma de dizer: a mudança de f dividida pela mudança em x. Quanto menor ?x ficar, melhor a aproximação será. Matematicamente, se define a DERIVADA como sendo o limite da razão acima quando ?x tende a zero.

Como a substituição simples de ?x por 0 resulta em divisão por zero, o numerador deve ser simplificado de tal forma que ?x possa ser fatorado e então cancelado com o denominador. A função resultante, f '(x), é a DERIVADA de f(x).

Derivadas de maior ordem

Quando obtemos a DERIVADA de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a DERIVADA novamente obtemos então a derivada segunda da função f(x). De forma semelhante, a DERIVADA da segunda DERIVADA é chamada de terceira DERIVADA e assim por diante. Podemos nos referir à derivadas subsequentes de f por:

\frac{df}{dx},\quad   \frac{d}{dx}\LEFT(\frac{df}{dx}\RIGHT),\quad   \frac{d}{dx}\LEFT(\frac{d}{dx}\LEFT(\frac{df}{dx}\RIGHT)\RIGHT)

e assim por diante.

Às vezes para se simplificar a notação, as seguintes opções são freqüentemente utilizadas:

\frac{df}{dx},\quad   \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad   \frac{d^{3}f}{dx^3}

ou alternativamente,

f'(x),\quad   f''(x),\quad   f'''(x)

ou

f^{(1)}(x),\quad   f^{(2)}(x),\quad   f^{(3)}(x)

Pontos críticos ou estacionários

Pontos onde a DERIVADA da função é igual a zero chamam-se normalmente de pontos críticos ou estacionários e são muito importantes. Existem três tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a DERIVADA é igual à tangente em um dado ponto e a tangente do ângulo zero é zero, estes pontos acontecem onde a inclinação da reta é paralela ao eixo x. Estes pontos podem acontecer onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados pontos de máximo da função, ou onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamado de ponto de mínimo. Eles também podem ocorrer em pontos de inflexão da função. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x) = x3, no ponto x=0 a função tem um ponto de inflexão.

Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a segunda DERIVADA de f(x):

  • Se DERIVADA segunda de f(x) é positiva no ponto onde a DERIVADA primeira é nula, então o ponto é um mínimo local.
  • Se a DERIVADA segunda for negativa, o ponto em questão é um máximo local
  • E se a DERIVADA segunda também for nula, o ponto é um ponto de inflexão.

Derivadas notáveis