Funçoes

Funções: aplicações
FUNÇÃO CUSTO TOTAL, FUNÇÃO RECEITA TOTAL E FUNÇÃOLUCRO TOTAL
Custo total
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles
chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não
dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da
quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf).À parcela de custos que depende de x
chamamos custo variável (e indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever:
Ct(x) = Cf + Cv(x)
Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo total dividido pela
quantidade, isto é:
x
C (x)
C (x) t
m =
Receita total
Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a
função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes,
o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(x). Assim, a receita total pode ser expressa
através da função demanda como:
R(x) = p.x = f(x)x.
Lucro total
Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo
total, isto é:
L(x) = R(x) − Ct(x)
Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de
nivelamento. Então, o ponto de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo é denominado ponto de
nivelamento.
Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico
é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as
raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 20 grau, será suficiente
determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o
ponto de máximo (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice será o lucro máximo.
Receita Total
Custo Total
a - pontos de nivelamento - b
x x
y
y
a b
Lucro Máximo
2
Exemplos e Exercícios:
1)
Tendo em vista o gráfico acima, responda as questões abaixo:
a) Qual a equação da função Vendas ?
b) Qual o intervalo onde observamos o ponto de equilíbrio ?
c) O que significa o fato da função Custo total não iniciar do ponto (0,0)?
d) Supondo que o Custo Fixo seja R$ 75.000,00 e que um ponto do gráfico da função Custo Total seja
(30.000, 225.000), qual será a equação da função Custo Total ?
2) Considerar as funções custo total C(x) = 2x + 39 e a função receita R(x) = - x2 + 18 x relativas à produção e
venda de x unidades de um mesmo produto, 0 ≤ x ≤ 18 , representadas no gráfico abaixo.
Determina a função Lucro e observando o gráfico responda:
a) Quais os pontos de nivelamento.
b) Qual o intervalo onde o temos Lucro (L(x)>0).
c) Qual o intervalo onde temos Prejuízo (L(x)<0).
3) O custo fixo de uma empresa é 500u.m. sendo o custo variável 20 .
2
C (x) 1 x2 x v = − A função demanda é
dada pela expressão x 40
2
p = − 1 + . Determina:
a) as funções: receita, custo total e lucro total
b) o intervalo onde o lucro total é positivo
c) o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro.
4) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de 600u.m. e, em
material, gasta 25u.m. por unidade produzida. Cada unidade será vendida por 175u.m.. Determina:
a) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter o nivelamento
b) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de 450u.m.
39
3 13 x
C(x) / R(x)
R (x)
C
45
65
0 18
3
5) Supondo que o custo total para fabricar “x” unidades de um certo produto seja dado por: Ct (x) = x2 + 8,
determina:
a) o custo fixo; b) o custo variável;
c) o custo de fabricação de quatro unidades; d) o custo de fabricação da quarta unidade;
e) a função do custo médio; f)o custo médio de produção das quatro primeiras unidades.
6) O custo total para um fabricante consiste de uma quantia fixa 200 μ m somado ao custo de produção que é de
50 μ m por unidade. Expressa o custo total como função do número de unidades produzidas e constrói o gráfico.
7) Se o preço de venda de certo produto é 70 μ m e “x” representa a quantidade vendida, determina:
a) a função receita total;
b) o gráfico da função receita total.
8) Considera a função custo total do exercício (6) e a função receita total do exercício (7). Determina:
a) a função lucro total;
b) o ponto crítico (de nivelamento);
c) os valores de “x” para os quais o lucro é negativo;
d) os valores de “x” para os quais o lucro é positivo;
e) os gráficos das funções custo, receita e lucro no mesmo sistema de eixos.
9) Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro total em cada caso:
a) Rt (x) = 4x e Ct (x) = 50 + 2x
b) Rt (x) = 0,5x e Ct (x) = 20 + 0,25x
10) Uma editora vende certo livro por 60 μ m a unidade. Seu custo fixo é 10.000 μ m e o custo variável por
unidade é 40 μ m.
a) Qual o ponto de nivelamento?
b) Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a 8.000μm?
c) Esboça os gráficos da receita, custo e lucro no mesmo sistema de eixos.
11) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e demanda diária são:
p = 20 + 5x e p = 110 – 4x, respectivamente. Determina:
a) o preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50;
b) a quantidade vendida quando o preço é 10 μ m;
c) o ponto de equilíbrio do mercado;
d) os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos;
e) interpreta o resultado obtido em (c).