quinta-feira, 25 de março de 2010

Derivada

Derivada


Na matematica, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da DERIVADA é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da DERIVADA de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:

Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A DERIVADA de uma função num ponto indica a taxa de variação da função em relação ao argumento da própria função. A DERIVADA fornece a inclinação instantânea de f(x) em cada ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A DERIVADA de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.


Diferenciação e Diferenciabilidade

A DERIVADA de uma função pode ser escrita de várias formas. Por exemplo:

\frac{}{}   f^{'}(x) (lê-se éfe linha de xis)

ou

\frac{df}{dx}(x) (lê-se dê éfe dê xis de xis)

ou

\frac{d}{dx}   f(x) (lê-se dê dê xis de éfe de xis)

ou

\frac{}{}   D_{x}   f(x) (lê-se Dê xis de éfe de xis).

Os últimos três símbolos são úteis para se considerar a diferenciação como um operador, e estes símbolos são conhecidos como Operador diferencial.

Uma função é diferenciável em um ponto x se sua DERIVADA existe e é finita naquele ponto; uma função é diferenciável em um intervalo se a DERIVADA existe e é finita para cada x dentro do intervalo. Se uma função não é contínua em c, então não existe uma inclinação definida em c e, portanto, a função não é diferenciável em c; Mesmo para uma função contínua em c, pode ocorrer dela não ser diferenciável em c. Por exemplo, considere o ponto c como o ponto no vértice de um triângulo. Neste ponto existem duas inclinações possíveis, à direita ou à esquerda. Portando a DERIVADA é ambígua e não pode existir. Em suma, se uma função é diferenciável num ponto, ela é contínua nesse ponto; reciprocamente não se pode afirmar o mesmo.


Quociente de Newton



A DERIVADA de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com f(x) convergem para um mesmo ponto. Neste limite, a inclinação da secante se iguala à da tangente.

DERIVADA de f(x)">

Inclinação da tangente à curva como a DERIVADA de f(x)

Essa idéia é expressa no quociente de Newton; onde h, isto é ?x, é a distância entre os pontos de intersecção da secante no eixo de coordenada x:

f'(x)=   \lim_{h   \to   0}   \frac{f(x+h)   -   f(x)}{h}

Suponha que se queira encontrar a DERIVADA de uma função f(x), em x. Se aumentamos x em uma quantidade pequena, ?x, pode-se calcular f(x + ?x). Uma aproximação da inclinação da tangente à curva é dada por (f(x + ?x) - f(x)) / ?x, que é uma forma de dizer: a mudança de f dividida pela mudança em x. Quanto menor ?x ficar, melhor a aproximação será. Matematicamente, se define a DERIVADA como sendo o limite da razão acima quando ?x tende a zero.

Como a substituição simples de ?x por 0 resulta em divisão por zero, o numerador deve ser simplificado de tal forma que ?x possa ser fatorado e então cancelado com o denominador. A função resultante, f '(x), é a DERIVADA de f(x).

Derivadas de maior ordem

Quando obtemos a DERIVADA de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a DERIVADA novamente obtemos então a derivada segunda da função f(x). De forma semelhante, a DERIVADA da segunda DERIVADA é chamada de terceira DERIVADA e assim por diante. Podemos nos referir à derivadas subsequentes de f por:

\frac{df}{dx},\quad   \frac{d}{dx}\LEFT(\frac{df}{dx}\RIGHT),\quad   \frac{d}{dx}\LEFT(\frac{d}{dx}\LEFT(\frac{df}{dx}\RIGHT)\RIGHT)

e assim por diante.

Às vezes para se simplificar a notação, as seguintes opções são freqüentemente utilizadas:

\frac{df}{dx},\quad   \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad   \frac{d^{3}f}{dx^3}

ou alternativamente,

f'(x),\quad   f''(x),\quad   f'''(x)

ou

f^{(1)}(x),\quad   f^{(2)}(x),\quad   f^{(3)}(x)

Pontos críticos ou estacionários

Pontos onde a DERIVADA da função é igual a zero chamam-se normalmente de pontos críticos ou estacionários e são muito importantes. Existem três tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a DERIVADA é igual à tangente em um dado ponto e a tangente do ângulo zero é zero, estes pontos acontecem onde a inclinação da reta é paralela ao eixo x. Estes pontos podem acontecer onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados pontos de máximo da função, ou onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamado de ponto de mínimo. Eles também podem ocorrer em pontos de inflexão da função. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x) = x3, no ponto x=0 a função tem um ponto de inflexão.

Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a segunda DERIVADA de f(x):

  • Se DERIVADA segunda de f(x) é positiva no ponto onde a DERIVADA primeira é nula, então o ponto é um mínimo local.
  • Se a DERIVADA segunda for negativa, o ponto em questão é um máximo local
  • E se a DERIVADA segunda também for nula, o ponto é um ponto de inflexão.

Derivadas notáveis

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